Построение прилегающей плоскости к номинально плоским поверхностям. Соломахо В.Л., Дадьков К.И.
Оглавление
Построение прилегающей плоскости к номинально плоским поверхностям. Соломахо В.Л., Дадьков К.И.
Страница 2
Страница 3

 

Построение прилегающей плоскости к номинально плоским поверхностям, ограниченным прямоугольным контуром

 

Cоломахо В.Л., д.т.н., профессор БНТУ
Дадьков К.И., старший преподаватель БНТУ

В статье предложен новый подход к построению прилегающей плоскости на основе анализа расположения характерных точек номинально плоской поверхности. На примере номинально плоских поверхностей деталей машиностроения, ограниченных прямоугольным контуром и аппроксимируемых сферическими или параболическими поверхностями, продемонстрировано практическое применение разработанного подхода к построению прилегающих элементов.

Наиболее эффективным методом уменьшения погрешности измерений при их относительно неизменной стоимости является минимизация методических погрешностей. Данные погрешности возникают из-за принятых при измерении или обработке результатов теоретических допущений и упрощений, а также из-за несоответствия реального объекта принятой модели. В настоящее время в подавляющем большинстве измерений отклонений формы и расположения номинально плоских поверхностей, проводимых в условиях промышленного производства, в результатах наблюдений присутствуют значимые методические составляющие погрешности, сопоставимые с интегральной погрешностью измерений. Частично это обусловлено тем, что при реализации контроля номинально плоских поверхностей некорректно воспроизводится прилегающая плоскость.

Согласно ГОСТ 24642-81 прилегающей плоскостью называется плоскость, соприкасающаяся с реальной поверхностью и расположенная вне материала так, чтобы отклонение от нее наиболее удаленной точки реальной поверхности в пределах нормируемого участка имело минимальное значение. При этом вместо прилегающего элемента для оценки отклонений формы допускается использовать в качестве базового элемента средний элемент.

В ГОСТ 28187-89 также разрешается измерение и оценка отклонений формы относительно среднего или других элементов, имеющих номинальную форму измеряемого элемента, но по расположению отличающихся от прилегающего элемента (такими элементами являются, например: прямая, проходящая через две разнесенные точки реального профиля; плоскость, проходящая через три разнесенные точки реальной поверхности; окружность или цилиндр минимальной зоны). Следует отметить, что применение в качестве прилегающей плоскости других элементов допускается только при измерении отклонений формы, в то время как при измерении отклонений расположения остается необходимым условие использование именно прилегающей плоскости.

В промышленности в подавляющем большинстве методик выполнения измерений при исследовании отклонений формы и расположения в качестве прилегающей используются плоскость, проводимая по трем максимально разнесенным произвольно выбранным точкам или средняя плоскость. Методическая погрешность при реализации данных методов из-за отличия базовой плоскости от прилегающей может достигать до 40 % от измеренного отклонения формы или расположения. При метрологических исследованиях номинально плоских поверхностей,  проводимых в лабораторных условиях при выполнении измерений с высокой степенью точности, для построения плоскости, близкой по расположению к прилегающей, используют метод качелей или метод проецирующих плоскостей. Методическая погрешность при реализации данных методов из-за отличия базовой плоскости от прилегающей, как правило, не превышает 10 % от измеренного отклонения формы или расположения, но в то же время описанные методы отличаются достаточно большой трудоемкостью и низкой производительностью.

В настоящее время отсутствуют универсальные методы построения прилегающей плоскости, применимые для исследования любых номинально плоских поверхностей. Задачу построения прилегающих элементов можно решить, дифференцируя поверхности по следующим признакам:

1. Вид контура, ограничивающего номинально плоскую поверхность.

2. Вид геометрической поверхности, при помощи которой можно аппроксимировать реальную номинально плоскую поверхность; при аппроксимируемой поверхности выше второго порядка рекомендуется исследуемую поверхность описать как кусочно-непрерывную при помощи бикубических сплайнов, после чего рассматривать отдельно каждую локальную область как ограниченную поверхность второго порядка.

3. Омбиличность аппроксимируемой поверхности. При помощи данного критерия определяют, является ли аппроксимируемая поверхность выпуклой, вогнутой или выпукло-вогнутой.

4. Наличие на исследуемой поверхности элементов прерывания, характер их расположения.

Используя данный дифференцированный подход, для каждого случая можно использовать частный метод построения прилегающей поверхности, сводя методическую погрешность к пренебрежимо малым погрешностям второго или третьего порядка малости.


Для примера рассмотрим метод построения прилегающей плоскости для непрерывных номинально плоских вогнутых поверхностей, ограниченных прямоугольным контуром и аппроксимируемых эллиптическими или параболическими поверхностями второго порядка. Для этого сначала исследуем строение сечения эллиптического параболоида параллелепипедом, ребро которого параллельно оси симметрии параболоида, причем вершина параболоида лежит внутри параллелепипеда.

В качестве системы координат выбираем каноническую систему координат для эллиптического параболоида. В данной системе координат параболоид задается уравнением

                                                (1)

На рисунке 1 точки A, B, C и D – вершины параллелограмма, который получается при сечении параллелепипеда плоскостью xOy.

Для точек , лежащих в плоскости xOy, введем обозначение

                                         (2)

Рисунок 1 – Сечение параболоида параллелепипедом

Величина  есть аппликата точки , которая является точкой пересечения параболоида и прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости xOy.

Определим точку сечения, имеющую наибольшую аппликату . При сечении параболических поверхностей параллелепипедом справедливо следующее равенство:

,                              (3)

т.е. самая высокая точка сечения лежит на одном из боковых ребер параллелепипеда.

Для обоснования этого утверждения выполним преобразование:

                                                 ,  .            (4)

В системе координат  уравнение параболоида примет вид

,                                             (5)

т.е.  в результате преобразования мы получили параболоид вращения. Линиями  уровня этого параболоида будут окружности.

При таком преобразовании параллелограмм  отобразится в параллелограмм , лежащий в плоскости , причем ,  и так далее. Поскольку  есть квадрат расстояния от точки О до точки с координатами , то  (а так как , то, следовательно, и z) примет наибольшее значение в точке параллелограмма , наиболее удаленной от точки О. А это как раз и будет одна из вершин параллелограмма.

Действительно, пусть R – расстояние от наиболее удаленной точки Р параллелограмма до точки О.  Построим окружность радиуса R с центром в точке О. Если точка Р не совпадает ни с одной из вершин параллелограмма, то на той его стороне, на которой лежит точка P, обязательно найдутся точки, лежащие вне построенной окружности, и, следовательно, удаленные от точки O на расстояние, большее, чем R. А это противоречит определению точки Р.

Таким образом, наиболее высокая точка сечения лежит на боковом ребре параллелепипеда.

Для определения точек, принадлежащих реальной поверхности через которые должна проходить прилегающая плоскость, проведем исследование линий сечения параболических поверхностей параллелепипедом. Каждая грань параллелепипеда пересекает параболоид по линии, которая представляет собой участок некоторой параболы. При движении по этому участку аппликата z может изменяться монотонно (тип поведения 1), или же вначале монотонно возрастать, а затем монотонно убывать (тип поведения 2). Во втором случае вершина параболы лежит в соответствующей грани параллелепипеда, а в первом – нет.

Для исследования типа поведения линий сечения выполним преобразование (4). Если точки  и  лежат на  параллелограмме  и расстояния , то и для аппликат , где  и  - прообразы точек  и  при преобразовании (4).



 
« Пред.
Пользователей: 311
Новостей: 663
Ссылок: 0