значение  будет вести себя аналогично.

В результате получаем, что в данном случае часть линии сечения, которая находится в рассматриваемой  грани параллелепипеда, имеет тип поведения 1, как показано на рисунках 4а и 4б (вершина соответствующей параболы при этом находится в точке  и не лежит на данной грани).

Рисунок 4 - Тип поведения 1 линии сечения параболоида параллелепипедом

Участки сечения эллиптического параболоида параллелепипедом, лежащие в смежных гранях параллелепипеда, не могут одновременно иметь тип поведения 1. Это следует из того, что, по крайней мере, одна из двух высот опущенных из точки O на смежные стороны параллелограмма пересечет соответствующую сторону (т.е. для нее будет иметь место случай, показанный на рисунке 2а, и соответствующий участок сечения будет иметь тип поведения 2).

Из вышеизложенного следует, что точка сечения  с наименьшей аппликатой лежит в одной из двух смежных граней параллелепипеда, пересечение которых есть ребро, проходящее через ту вершину  параллелограмма ABCD, для которой выполняется условие

,                                 (6)

при этом точка  не может лежать на ребре параллелепипеда.

Для определенности будем считать, что , то есть точка  является с наименьшей аппликатой среди точек и  (рисунок 1). Точку  находим следующим образом.

Запишем параметрические уравнения участков  и  сечения:

 и , .  (7)

где ,  и  – координаты точек D, A и C соответственно, , , , .

Из условия  существования экстремума находим значения параметров

  и  (8)

По этим значениям параметров из уравнений (7) находим координаты точек и .

Если оба участка  и  имеют тип поведения 2 (рисунок 5), то точка  лежит на участке , точка   лежит на участке , а оба значения параметра . В этом случае точка  совпадает с той из точек  и , которая является более низкой (и ее аппликата как раз равна ).

Рисунок 5 – Исследование смежных граней сечения параболоида параллелепипедом

Если участок  имеет тип поведения 2, а участок  – тип поведения 1 (рисунок 6), то точка  лежит на участке  и , а точка   лежит вне участка  и . В этом случае точка  совпадает с точкой . 

Рисунок 6 – Точка с наименьшей аппликатой, принадлежащая сечению параболоида параллелепипедом

Если же участок  имеет тип поведения 2, а участок  – тип поведения 1 (рисунок 3), то точка  лежит на участке  и , а точка   лежит вне участка  и . В этом случае точка  совпадает с точкой . 

Исследуем сечение параллелепипеда плоскостью. Рассмотрим прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм ABCD.  Плоскость  пересекает его боковые ребра в точках , ,  и , лежащих выше плоскости основания (рисунок 7).

Рисунок 7 - Сечение параллелепипеда плоскостью

Как следует из теоремы о параллельных плоскостях ¦  и ¦ , то есть  - параллелограмм.

Для определенности будем считать (как это показано на рисунке 7), что - точка сечения с наибольшей аппликатой (по отношению к плоскости основания ABCD). Так как  - параллелограмм, то очевидно, что  точка  будет иметь наименьшую аппликату в сечении.

Обозначим ,  и , где ,  и  - точки пересечения соответствующих ребер параллелепипеда с плоскостью, проходящей через точку  параллельно основанию ABCD  (как это показано на рисунке 7). Данные величины назовем дефектами соответствующих точек, которые создает плоскость P. Как видно из рисунка 7,  и . Следовательно, 

                                                  ,                                      (9)

то есть дефект самой нижней точки сечения равен сумме дефектов двух других точек сечения, которые не являются самыми высокими.