Исходя из вышеизложенного можно составить алгоритм построения прилегающей плоскости к номинально плоской поверхности, ограниченной четырехугольным контуром и аппроксимируемой сферической, эллиптической или параболической поверхностью второго порядка.

1.Из данных предварительного анализа определяют вид аппроксимируемой поверхности и ее омбиличность.

2. Проводят измерения координат точек на исследуемой поверхности в области углов ограничивающего поверхность четырехугольного контура.

3. Для вогнутых поверхностей определяют точку с наибольшей аппликатой, для выпуклых поверхностей – с наименьшей.

4. Определяют дефекты остальных измеренных точек относительно точки наибольшей (наименьшей) аппликатой.

5. В зависимости от соотношения определенных дефектов точек выбирают вариант построения прилегающей плоскости.

6. Определят координаты трех точек, через которые будет проходить прилегающая плоскость.

7. Составляют уравнение прилегающей плоскости в системе координат измерительного прибора.

 Для определенности будем считать, что точка  - точка  сечения параболоида параллелепипедом с наибольшей аппликатой, тогда прилегающая плоскость должна проходить через точку .

Обозначим , , . Эти величины показывают, насколько ниже по отношению к точке  лежат точки ,  и  соответственно.

Рассмотрим возможные варианты соотношения дефектов точек.

Вариант 1. Пусть  и  (т.е. точка  расположена ниже точек  и ), и выполняется неравенство

                                                        .                                                 (10)

Проведем плоскость P через точки ,  и . Из определения дефектов следует, что  и . В силу (4) ). Тогда из (3) следует, что , т.е. точка  лежит не выше плоскости P. Следовательно, данная плоскость является прилегающей.

Таким образом, в случае 1 прилегающую плоскость необходимо проводить через три самые высокие точки сечения параболоида и параллелепипеда.

Вариант 2. Пусть  и , и выполняется неравенство

                                                         .            (11)

Так как неравенство (10) не выполняется, то плоскость P, проходящая через точки ,  и ,  пересекает часть параболоида, отсеченную параллелепипедом, в районе точки , то есть не является прилегающей.

Введем следующие обозначения:

 ;                            .                (12)

Из неравенства (9) следует, что . Тогда .

Выполним сдвиг по оси Oz точек  и , то есть на ребрах  и  параллелепипеда выберем, соответственно, точки  и таким образом, чтобы их аппликаты были равны  и , как показано на рисунке 8.

Рисунок 8 – Определение точек  и

Через точки ,  и  проведем плоскость P. Находим дефекты точек B и D, которые создает эта плоскость:

; (13)

.                                  (14)

Тогда, используя уравнение (9), находим дефект точки A:

.                            (15)

Из этого равенства согласно определению чисел  и  следует, что точка  лежит на построенной плоскости. А это значит, что построенная плоскость не пересекает часть параболоида, отсеченную параллелепипедом, то есть данная плоскость является прилегающей.

Таким образом, в случае 2 прилегающую плоскость следует проводить через точки сечения параболоида и параллелепипеда с наибольшей и наименьшей аппликатой и точку  (или точку).

Вариант 3. Пусть выполняется, по крайней мере, одно из неравенств  или  (т.е. точка  не является самой низкой из точек ,  и ). В этом случае обязательно выполняется неравенство (11). Тогда плоскость строим таким же образом, как в случае 2. 

Таким образом, в случае 3 прилегающую плоскость следует проводить через точку сечения параболоида и параллелепипеда с наибольшей аппликатой и точки  и .

Так как прилегающая плоскость не параллельна оси Oz канонической системы координат для параболоида, то ее уравнение в этой системе координат можно привести к виду

                                                   ,                                       (16)

где ,  - координаты точки сечения с наибольшей аппликатой (отметим, что , так как ось Oz пересекает данную плоскость в точке, лежащей выше координатной плоскости xOy).

Для определения коэффициентов m и n подставляем в уравнение (16) координаты двух других точек, через которые мы проводим прилегающую плоскость, и решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Описанная методика определения уравнения прилегающей плоскости действительно для любых вогнутых эллиптических или параболических поверхностей, ограниченных многоугольным контуром. Для построения прилегающей плоскости к выпуклым аппроксимируемым поверхностям при помощи аналитического моделирования определяют точку реальной поверхности, наиболее удаленную от плоскости, задаваемой уравнением (16). Плоскость, проходящая через данную точку и параллельная плоскости, задаваемой уравнением (16), будет являться прилегающей плоскостью к исследуемой выпуклой поверхности.

Таким образом, для построения прилегающей плоскости к непрерывной номинально плоской вогнутой поверхности, ограниченной прямоугольным контуром и аппроксимируемой эллиптическими или параболическими поверхностями второго порядка, необходимо измерить координаты точек в области углов ограничивающего многоугольного контура. Сравнивая аппликаты углов ограничивающего контура, определяют тип прилегающей плоскости и рассчитывают координаты трех точек, принадлежащих данной плоскости. Подставляя координаты полученных точек в уравнение (16) и решая систему уравнений с двумя неизвестными, получают каноническое уравнение прилегающей плоскости.

Литература:

ГОСТ 24642-81 Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и определения

ГОСТ 28187-89 Основные нормы взаимозаменяемости. Отклонения формы и расположения поверхностей. Общие требования к методам измерений